中学入試の算数の問題で、必ずといっていいほど出る問題が『旅人算』です。お母さん向けに前半は旅人算の問題の解き方、後半は、実際の過去問を使って解説していきます。
１．旅人算の考え方－4つのパターン
実は旅人算は４つのパターンだけを理解すれば難しいことはありません。
２．同じ道で反対向きに進む (出会うまでの時間)＝(2人の距離の和)÷(2人の速さの和)
３．同一円周上で同じ向きに進む (追いつくまでの時間)＝(2人の距離の差)÷(2人の速さの差)
４．同一円周上で反対向きに進む (出会うまでの時間)＝(2人の距離の和)÷(2人の速さの和)
旅人算の基本は、2人の距離の差や和、速さの差や和を考えます。問題文を読んで、追いつくのか、出会うのかを考えるようにしましょう。それでは、具体的に4つのパターンを具体的な例を上げながら、考え方と解き方を紹介します。
1-1 同じ道で追いつく
これは、先に誰かが出発して、もう一人があとから追いかけて行くパターンです。
考え方
図を書いて考えると
同じ方向に進むので、1分あたり 120－80＝40(ｍ)ずつ明子さんとお母さんが近づくことになります。また、10分明子さんが余分に歩いているので、
80×10＝800(m)の差を、何分でなくすことができるかを考えます。
答え
1-2 2地点から出発して出会う
これは、1直線上にある2つ別々の場所から2人が出発し、何分後に出会うかというパターンです。
考え方
図を書いて考えると
お互い反対向きに進むので、1分あたり80＋60＝140(ｍ)ずつ太郎さんと花子さんは近づくことになります。2人の家の距離が2800mなので、2800ｍの差を、何分でなくすことができるかを考えます。
答え
1-3 円周上の旅人算－同じ向きに移動する
これは、同一円周上(池の周り、公園の周りなど)を同じ向きに移動して、何分後に追い越すかというパターンです。円周を一直線上と考えると、(1)と同じ考え方ができます。
考え方
図を書いて考えると
お互い同じ向きに進むので、1分あたり200－120＝80(ｍ)ずつ一郎君と次郎君は離れることになります。追い越すということは、2人の進む距離の差が池の1周分3200mになるということです。そこで、3200ｍの差を、何分でなくすことができるかを考えます。
解き方
1-4 円周上の旅人算－反対向きに移動する
これは、同一円周上(池の周り、公園の周りなど)を反対向きに移動して、何分後にすれ違うかというパターンです。円周を一直線上と考えると、(2)と同じ考え方ができます。
考え方
図を書いて考えると
お互い反対向きに進むので、1分あたり200＋120＝320(ｍ)ずつ一郎君と次郎君は近づくことになります。2人の距離の差は、池の1周分3200mになりますので、3200ｍの差を、何分でなくすことができるかを考えます。
解き方
以上が、旅人算の基本の考え方のパターンになります。
２．旅人算の応用－往復の旅人算
少し複雑な旅人算として、往復の旅人算があります。しかし、これも、先程説明した4つのパターンと同じで基本2人の距離や速さの差や和を考えます。
往復の旅人算も仕組みを理解すれば苦にすることはありません
往復の旅人算は、偏差値が60以上の中学校の問題によく出題されますが数多く問題をこなせば必ず解けるようになります。
はじめ君の速さを毎分70m、モエさんの速さを毎分50mとして、あとの問いに答えなさい。
(1)2人がはじめて出会うのは、はじめ君の家から何ｍの地点ですか。
(2)2人が2度目に出会うのは、お互いが家を出てから何分後ですか。
2-1 考え方
図を書いて考えると
これは、お互い反対向きに進むので、1分あたり70＋50＝120(ｍ)ずつはじめ君とモエさんは近づくことになります。2人の距離の差は1800mになりますので、1800ｍの差を、何分でなくすことができるかを考え、最期に距離を出します。
2-1 解き方
はじめ君の距離を求めるので15×70＝1050(m) 答え 1050ｍ
2-2 考え方
1度目に出会ってから2度目に出会うので、(1)のあと2人の移動距離の和は、2人の家の間の距離の2倍となります(上の図を参照)。
2-2 解き方
お互いが家を出てからの時間を求めるので15＋30＝45(分) 答え 45分後
複雑な旅人算でも、図をかいて、2人の距離の差や和、速さの差や和を考えると解くことができます。
３．旅人算の練習問題
上に書いた説明を理解したうえで、お子さんに以下の問題をやらせてみてください。プリントもダウンロードできるようにしておきます。
１．守君は家を出て分速50mの速さで2400m先にある駅に向かいました。聖子さんは12分後に分速70mで守君に追いかけました。聖子さんが守君に追いつくのは聖子さんが出発してから何分後ですか。
２．トムの家とメアリの家は3000m離れています。トムはメアリの家へ、メアリはトムの家へ向かってそれぞれ同時に家を出ました。そうすると20分後に2人は道の途中で出会いました。トムが毎分90mで歩いているとすると、メアリは毎分何mで歩いていますか。
３．まこと君とけん君が、それぞれ一定の速さでＡ町からB町へ歩いていきました。まこと君が出発して５分後にけん君が出発しました。けん君は出発してから２０分後にまこと君に追いつき、追いついてから8分後にB町に着きました。
(1) まこと君がB町に着くのは、けん君がB町についてから何分後ですか。
(2) A町からB町までの道のりは2450mです。まこと君の歩く速さは何m／分ですか。(2014同志社中)
3-1 解説・解答
１．守君は、毎分50mで12分歩いているので、50×12＝600(m)同じ方向に行くので2人の速さの差は70－50＝20(m／分)よって、600ｍの差が毎分20mずつ縮まるので600÷20＝30(分)
答え：３０分後
3-2 解説・解答
２．トムは毎分90mで歩いて、20分後にメアリと出会うので、トムの進んだ距離は、90×20＝1800(m)メアリの歩く距離は3000－1800＝1200(m)よって、メアリの歩く速さは1200÷20＝60(m／分)になります。
答え：毎分６０m
3-3 解説・解答
まこと君は、2450mの距離を28分で歩くことになるので、まこと君の歩く速さを求めると2450÷28＝87.5(m／分)よって、まこと君が20分で進む距離は、87.5×20＝1750(m)また、けん君は、1750mを25分かけて歩いているので剣君の歩く速さは、1750÷25＝70(m／分)
けん君が残り700mを歩く時間が700÷70＝10(分)よって、まこと君が着いてからけん君がつくまで 10－8＝2(分)
答え：(1) ２分後、(2) ７０m／分
まとめ
いかがでしたでしょうか。中学入試の旅人算はここに掲載しているパターンでほぼ解くことができます。お子さんが旅人算が苦手であれば、まずは「図」に書いて問題文を理解することから始めることが一番の旅人算を解く近道です。旅人算が出題されない学校はほとんどありません。それぐらい重要な単元ですので、早いうちに苦手を克服していきましょう。この○○の単元についてまとめてほしいなどありましたらお気軽にコメント欄にてお知らせください。
いい
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